发现非欧几何的荣誉属于两个人:匈牙利人波尔约和俄国人罗巴切夫斯基他们各自独立地对这个课题做了非常相似的研究特别是，两者都在二维和三维的情况下描述了一个不同于欧几里得的几何罗巴切夫斯基的结果于1829年首次发表在一本鲜为人知的俄罗斯杂志上，随后于1837年发表在法文版上，1840年发表在德文版上，最后于1855年发表在法文版上1831年，波尔约将他的论文作为附录发表在他父亲写的两卷本几何书中

把他们的成就放在一起是最容易的两者都以一种新颖的方式定义平行线如下:给定一点P和一条直线M，穿过P的直线有的与M相交，有的则不相交这两个集合被两条穿过P的直线隔开，这两条直线与M不相交，但这两条直线是从P到右边任意接近M，一条到左边任意接近M它们是下图中的直线n’和n

直线N’和N将穿过P并与直线m相交或不相交的直线分开。

罗巴切夫斯基称这两条边界平行于穿过点P的直线M..这个定义可以在他1840年写的一本小册子中找到实际上，两个边界之间的所有直线也都经过点P，不与直线m相交

在这个讨论中，仍然可以定义从点P到直线m的垂线，左右两条平行线与这条垂线成等角，称为平行角如果这个角是直角，就得到欧几里德几何可是，如果它小于直角，就有可能产生新的几何形状因此，这个角的大小取决于从点P到直线m的垂直线的长度波尔约和罗巴切夫斯基懒得证明小于直角的平行角不会引起冲突相反，他们都是假设不会有矛盾，然后用很大的力，从垂直线的长度找到平行角的大小

他们都证明了给定一族平行线和其中一条线上的一个点，必有一条垂直于所有这些直线的曲线通过这个点。

垂直于一族平行线的曲线

在欧几里得几何中，这条曲线是一条直线，它垂直于族中所有的平行线，并通过这个点如果还是在欧氏几何中，但是取一族通过公共点Q和另一个点P的直线，那么通过P并垂直于所有这些直线的曲线就是以Q为圆心，通过P的圆

垂直于欧几里得平行线的曲线。

这些由波尔约和罗巴切夫斯基定义的曲线类似于上面两幅欧几里得图画:它们与所有这些平行线正交，但它们是弯曲的而不是直的波尔约称这条曲线为L曲线，而罗巴切夫斯基称之为极限圆这个术语更有帮助，一直沿用至今

垂直于通过一点的欧几里得直线的曲线。

他们复杂的论证将他们引入了三维几何在这里，罗巴切夫斯基的论证比波尔约的要清晰一点，而且两人都明显超越了高斯如果定义极限圆的图形绕其中一条平行线旋转，这些线就会成为三维空间中的一族平行线，而极限圆则会扫出一个杯形的曲面，波尔约称之为F面，罗巴切夫斯基称之为极限球他们都预示着一些值得注意的事情将会发生会从穿过极限球面的平面上切出一个圆，或者切出一个极限圆如果在极限球面上做一个以极限圆为边的三角形，三个内角之和等于两个直角换个角度来说，虽然包含极限球面的空间是三维版的情形L，但绝对是非欧的但如果限制极限球面，就会得到二维欧几里得几何

波尔约和罗巴切夫斯基也知道他们可以在他们的三维空间中制作球，并证明不管平行线的假设如何，球的几何公式仍然有效罗巴切夫斯基选择了用一个和他的平行线有关的非常巧妙的做法来证明球面上的一个三角形必定决定平面上的一个三角形，并且也是由这个平面三角形决定的，反过来，平面上的一个三角形也决定了球面上的一个三角形，也是由这个球面三角形决定的这意味着球面的几何公式必须决定可用于极限球面的三角形公式当罗巴切夫斯基检查它的细节时，他证明了极限球面上的三角形可以用双曲三角学的公式来描述，波尔约在某种程度上做到了这一点

他们是高斯，波尔约和罗巴切夫斯基。

三角形的公式取决于球体的半径同样，双曲三角形的公式必须依赖于一个实参数但是这个参数没有明确的几何解释尽管有这个缺点，但是这些公式有一些性质可以帮助我们重新确认一些事情例如，当三角形的边很小时，它们都非常接近平面几何中众所周知的公式，这有助于解释为什么这些公式这么久都没有被发现——它们在很小的空间区域内与欧几里得几何差别很小

在这种新的背景下，长度和面积的公式可以给出这些公式表明，三角形的面积与三角形的内角和两个直角之差成正比特别是，罗巴切夫斯基觉得有一个很好的理由来接受这种新的几何:这种可信的公式是存在的在他看来，所有的几何都是关于度量的，每一个几何定理都是用公式来表达这些度量之间的可靠联系既然他的方法给出了这个公式，在他看来，就足以作为这种新几何存在的充分理由

自从波尔约和罗巴切夫斯基提出了新颖的三维几何，他们也提出了一个问题:哪种几何是真实的是欧几里得几何，还是包含某个参数值的新几何，可以通过实验确定在这一点上，波尔约放弃了这个问题，但罗巴切夫斯基明确表示，这个问题可以通过测量星座的视差来解决在这里，他也没有成功，因为这个实验是出了名的细致

一般来说，波尔约和罗巴切夫斯基生前对他们思想的反应是轻蔑和敌视，他们自己也没有预见到他们的发现最终会成功波尔约和他的父亲把他们的工作交给了高斯但是高斯在1832年回信说，他不能赞扬这项工作因为赞美它就是赞美我自己，这是不够的高斯还补充说，他在文章开头给出了波尔约结果的一个更简单的证明不过他说他很开心，因为超越他的是他老朋友的儿子波尔约勃然大怒，拒绝再次发表他的工作，从而剥夺了自己通过在数学期刊上发表来保证优先权的机会奇怪的是，没有证据表明高斯事先知道这个年轻匈牙利人的工作细节很可能高斯看到了波尔约作品的开头，知道它接下来会做什么

对现有证据更宽容的解释是，在19世纪30年代，高斯已经认为物理空间可以用非欧几何来描述，他当然知道如何用双曲三角形来掌握2维非欧几何但是三维的情况是由波尔约和罗巴切夫斯基首先知道的，而高斯是在阅读了他们的研究之后才知道的

奥斯特罗格拉茨基

罗巴切夫斯基的情况比波尔约稍微好一点他最早的一篇文章由奥斯特罗格拉茨基保存，他是圣彼得堡的一位数学家，地位更高，而罗巴切夫斯基在另一个省喀山他发表在德国《纯粹与应用数学杂志》上的文章可悲地引用了许多用俄语发表的文章，而这篇文章是从这些俄语文章改写而来的他在1840年的一本小书只得到一篇书评，书评的愚蠢程度超乎一般罗巴切夫斯基把这本小书给了高斯，高斯觉得很棒，并安排罗巴切夫斯基入选哥廷根科学院可是，高斯的热情到此为止，罗巴切夫斯基再也没有得到高斯的支持